Les chiffres significatifs – cours et exercices corrigés

Sommaire

Introduction
Principe général
Dans les calculs (multiplication/divisions)
Cas particulier : les additions
Exercices

Introduction

Nous allons voir dans ce chapitre une particularité spécifique à la physique-chimie : les chiffres significatifs.
Nous allons beaucoup parlé de calculs et donc de mathématiques mais ce n’est pas du tout un chapitre de maths !
Ce n’est pas non plus un chapitre de physique-chimie avec des formules et des théorèmes, c’est plutôt un outil de la physique-chimie qui se retrouve dans presque tous les chapitres !
Pour simplifier, nous écrirons parfois l’abréviation C.S. pour « chiffres significatifs »

Principe général

Le principe est le suivant : quand on a une donnée, par exemple une distance, en m ou cm ou dm etc… cette donnée a une valeur.
Par exemple 5,0 m ou 25,86 km.
Cette valeur a un certain nombre de chiffres, (5,0 a deux chiffres et 25,86 a quatre chiffres). Certains de ces chiffres sont dits significatifs.
La règle est simple :

—
Les chiffres significatifs sont tous les chiffres SAUF LES 0 A GAUCHE !!!
—

Exemple :
6,24 a trois chiffres significatifs
58,203 a cinq chiffres significatifs
mais 0,0025 a DEUX chiffres significatifs ! En effet, les 0 à gauche ne comptent pas…
Par contre les 0 à droite comptent !
Ainsi, 12,530 a cinq chiffres significatifs, de même que 7,200 a quatre C.S.

Plus dur : 000,0025010600 possède… huit C.S.
Nous avons souligné ces 8 chiffres pour que tu comprennes encore mieux !
000,0025010600 : les 0 à gauche ne comptent pas !

Tu as peut-être remarqué que la position de la virgule n’a aucune importance.
Ainsi :
284
2,84
28,4
0,0284
0,284
tous ces nombres ont 3 C.S. (le 2 le 8 et le 4, les 0 à gauche ne comptant pas).

—
La position de la virgule n’a aucune incidence sur le nombre de chiffres significatifs !
—

Nous t’avons concocté un peu d’entraînement : trouve le nombre de C.S. des nombres suivants :
48
52,1
0,1205
12,0
0048,540020
065,23
9
56,02

Réponse (essaye d’abord de trouver tout seul ) :
48 : 2 C.S
52,1 : 3 C.S
0,1205 : 4 C.S
12,0 : 3 C.S
0048,540020 : 8 C.S
065,23 : 4 C.S
9 : 1 C.S
56,02 : 4 C.S

Tu sais maintenant comment trouver le nombre de C.S. !

—
ATTENTION ! Le nombre de chiffres significatifs n’est absolument pas le nombre de chiffres après la virgule comme certains le pensent parfois, la virgule n’a rien à voir avec le nombre de C.S…
Retiens juste que les 0 à gauche ne comptent pas !
—

Dernier point avant de passer à la suite : les puissances de 10 n’ont pas d’incidence non plus sur les C.S : il ne faut pas prendre en compte le 10 (qui n’a que 2 C.S).
Par exemple 5,27 a 3 C.S, et 5,27 × 10^-2 a également 3 C.S.

—
Les puissances de 10 n’ont aucune incidence sur le nombre de C.S.
—

Bon c’est bien joli tout ça mais à quoi ça sert ?
C’est ce que nous allons voir !

Dans les calculs : multiplications et divisions

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Dans les exercices, tu auras souvent des applications numériques à effectuer, c’est-à-dire remplacer des lettres par des valeurs.
Tu vas alors trouver un résultat mais qui ne va pas forcément tomber juste (avec plein de chiffres après la virgule…).
La question est la suivante : combien garde-t-on de chiffres pour le résultat ??

Le principe est simple : on regarde le nombre de chiffres significatifs de CHAQUE DONNÉE de l’énoncé.
Le résultat aura autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a LE MOINS.
Exemple : on a 3 données : une avec 4 C.S, une autre avec 5 C.S. et une autre avec 2 C.S.
Le résultat aura 2 C.S (puisque 2 est le plus petit entre 2, 4 et 5).

Prenons un autre exemple encore plus concret en chimie.
On sait que n = C × V
On donne C = 6,00 × 10^-2 mol.L^-1 et V = 23 L.
C a ici 3 C.S. tandis que V n’en a que 2 : le résultat final aura donc 2 C.S.
Faisons l’application numérique :
n = 6,00 × 10^-2 × 23
Le résultat est 1,38 mais 1,38 possède 3 C.S. alors qu’il n’en faut que 2 !
On arrondit donc à 1,4 qui possède 2 C.S :
n = 1,4 mol.

Sur ta copie tu écriras donc :
n = C × V
n = 6,00 × 10^-2 × 23
n = 1,4 mol.

Comme tu le vois pas besoin d’écrire le 1,38 tu écris directement le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs.

Autre exemple, qui fait en plus intervenir les problèmes de conversion :
Le poids P a pour formule P = m × g.
On donne m = 5000 g et g = 9,81 m.s^-2
Il faut faire attention que dans la formule la masse doit être en kg et non en g.
Beaucoup d’élèves diront 5000 g = 5 kg… oui mais 5000 a 4 C.S. tandis que 5 n’en a qu’un !!
Tu peux donc dire 5000 g = 5,000 kg mais le mieux est de passer avec des puissances de 10 :
5000 g = 5000 × 10^-3 kg et là tu es sûr de ne pas te tromper dans les C.S. puisque tu ne touches pas au nombre en lui-même (le 5000) mais uniquement à la puissance de 10 qui n’a pas de rapport avec les C.S comme on l’a vu précédemment.

On a alors :
P = 5,000 × 10^-3 × 9,81
P = 49,1 N.
Le résultat est normalement 49,05 mais 5,000 a 4 C.S alors que 9,81 n’en a que 3 : il faut donc 3 C.S, donc on arrondit 49,05 à 49,1.

Dernier exemple cette fois-ci avec des fractions (c’est le même principe) :
On a :

Or :

Donc :

On donne dans l’énoncé : m = 0,207 g M = 35,6 g.mol^-1 et V = 5,0 L.
m a 3 C.S, M en a 3 aussi mais V n’en a que 2 : le résultat final aura donc 2 C.S (car 2 est plus petit que 3) :

La calculatrice affiche en effet 0.00116292134 mais on ne doit garder que 2 C.S, donc 0,0012 c’est-à-dire 1,2 × 10^-3 en notation scientifique.

—
ATTENTION cependant !!
Dans ce dernier exemple, on a plusieurs formules : C = n/V et n = m/M.
Ce qu’il ne faut PAS faire c’est de calculer successivement en arrondissant, il vaut mieux faire UN SEUL calcul.
—

En effet, on aurait très bien pu d’abord calculer n :

On garde en effet 3 C.S car 0,207 et 35,6 en ont chacun 3.

On calcule ensuite C :

Certes on trouve ici le même résultat mais ce n’est pas toujours le cas !
En effet, on a d’abord arrondi le n, puis on a refait un arrondi en calculant le C.
Le C final est donc un arrondi de l’arrondi qui peut ne pas être le même qu’avec un seul arrondi…
Ici il n’y a que deux formules mais il arrive parfois qu’il y ait plein de formules à appliquer et si tu les appliques séparément tu auras plein d’arrondis à faire, et donc peut-être une valeur finale qui n’est pas la bonne !

Il vaut donc mieux faire un seul calcul en insérant les différentes formules dans ce calcul.
Cela permet en plus de vérifier l’homogénéité de la formule, et de n’avoir à réfléchir aux chiffres significatifs qu’une seule fois, lors de l’application numérique finale, au lieu de devoir réfléchir aux chiffres significatifs à chaque formule…

Petite remarque avant de passer à la suite : les chiffres significatifs à prendre sont ceux des DONNÉES, pas les chiffres qui peuvent parfois être dans la formule.
Par exemple, la formule du périmètre d’un cercle est 2ΠR : le 2 n’est pas à prendre en compte!
En effet, 2 ne représente pas une donnée (comme une vitesse, une distance etc…) c’est un chiffre qui est dans la formule.
On ne prendra donc en compte que la valeur du rayon R pour savoir combien de C.S il faut.

De même pour l’énergie cinétique par exemple qui est E = (1/2)*mv² : le 1/2 n’est pas à prendre en compte, seul le nombre de C.S de m et v sera pris en compte.

Le principe général à retenir est donc que le résultat final a autant de chiffres significatifs que la DONNÉE qui en a le moins.
Il existe cependant une exception : quand on fait des additions et soustractions.

Cas particulier : les additions et soustractions

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La règle est en effet légèrement différente lorsque l’on fait des additions ou des soustractions.
Le principe est le suivant :

—
Lors d’une addition ou d’une soustraction, le résultat doit avoir autant de chiffres après la virgule que le nombre qui en comporte le moins.
—

Avec un exemple ce sera plus simple :
25,12 + 36,2 + 4,965 + 82,1294 = 148,4
Le résultat est en réalité 148,4144 mais 36,2 n’a qu’un seul chiffre après la virgule alors que les autres en ont 2, 3 ou 4.
Le résultat final n’a donc qu’un seul chiffre après la virgule !
Tu vois également que le nombre de chiffres significatifs de chaque terme n’a pas d’importance, c’est le nombre de chiffres après la virgule qui est important.

—
La position de la virgule est donc déterminante pour une addition ou une soustraction contrairement aux multiplications et aux divisions.
—

—
Attention cependant, les chiffres ne doivent pas être en notation scientifique !
—

Reprenons l’exemple d’avant en mettant chaque nombre en notation scientifique :
2,512 × 10¹ + 3,62 × 10¹ + 4,965 + 8,21294 × 10¹
Le résultat aurait 2 chiffres après la virgule puisque les nombres ont respectivement 3, 2, 3 et 5 chiffres après la virgule.
En réalité le résultat ne doit avoir qu’un seul chiffre après la virgule comme vu précédemment…

Il faut donc mettre les chiffres sous forme décimale.

Remarque : le nombre de chiffres significatifs du résultat final peut, contrairement aux multiplications, avoir plus de chiffres significatifs que les données !!!

En effet, dans notre exemple le résultat final (148,4) a 4 C.S tandis que 36,2 n’en avait que 3…

Les règles concernant les chiffres significatifs pour les additions/soustractions et les multiplications/divisions sont donc bien distincts.

Cependant, en physique-chimie, tu auras quasiment tout le temps des multiplications et divisions et non des additions.

Un des seuls cas où tu auras à faire des additions est quand tu calculeras la masse molaire d’une molécule.
En effet, si on te donne M(H) = 1,0 g.mol.L^-1 et M(O) = 16,0 g.mol.L^-1, pour calculer la masse molaire de H₂O par exemple, tu feras :
M(H₂O) = 2 M(H) + M(O)
M(H₂O) = 2 × 1,0 + 16,0
M(H₂O) = 18,0 g.mol.L^-1.

Comme 1,0 et 16,0 ont tous les deux 1 chiffre après la virgule, le résultat final aussi.
On remarque que ce résultat final (18,0) a donc trois C.S alors que 1,0 n’en a que deux : comme dit précédemment le résultat final peut avoir plus de C.S que les données contrairement aux multiplications/divisions.

Maintenant que tu sais tout sur les chiffres significatifs on va pouvoir passer aux exercices !

Exerices

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Donner le nombre de chiffres significatifs des nombres suivants :
8,317
0062,52305
0732,60800
8,40/2,0
3906/3,00
50 x 18,0
6,4 x 2,1
8,23 + 6,3567
12,86502 – 8,32

On considère maintenant un rectangle dont les côtés mesurent 3,6 cm et 2,4 cm.
Calculer l’aire et le périmètre de ce rectangle.

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